Por que eu gostaria de fazer isso?
Sempre que você tiver uma conversa por mensagem de texto com alguém que extremamente importante, é sempre uma boa ideia manter um backup dele para que você o tenha no registro sempre que precisar. Mesmo que você faça backup dessas mensagens de texto no seu computador, é sempre uma boa ideia mantê-las em outro lugar também.
Com isso dito, ter uma cópia impressa física de uma importante conversa de mensagem de texto é ótima. Talvez você esteja enviando mensagens de texto para alguém sobre algo que possa ser útil no tribunal durante uma audiência, ou apenas queira salvar as últimas mensagens de texto recebidas de um amigo que faleceu - nunca é uma má idéia imprimi-las e mantê-las em algum lugar seguro.
Usando o AirPrint ou o Google Cloud Print
Se você tiver uma impressora compatível com o AirPrint da Apple ou o Google Cloud Print em dispositivos Android, poderá imprimir suas conversas de mensagens de texto diretamente do dispositivo. Se você não tiver certeza se a sua impressora suporta um desses recursos, verifique aqui se a sua impressora suporta o AirPrint e confira aqui o Google Cloud Print.
A primeira coisa que você precisa fazer é abrir a conversa de mensagem de texto em seu telefone e fazer uma captura de tela. Para fazer isso em um dispositivo iOS, basta pressionar o botão home e o botão liga / desliga ao mesmo tempo. No Android, depende de qual dispositivo você tem, mas é mais do que provável que seja o botão de diminuir o volume e o botão liga / desliga. Se você precisar imprimir mais do que é mostrado na tela, basta rolar para cima ou para baixo para mostrar as mensagens de texto anteriores e fazer outra captura de tela.
Todas as suas capturas de tela serão salvas na sua galeria de fotos em seu telefone, onde todas as outras fotos serão armazenadas. A partir daí, você pode imprimir essas capturas de tela.
No iOS
Se você tiver um iPhone ou iPad, comece abrindo o aplicativo Fotos.
No Android
Com o Google Cloud Print, você pode imprimir diretamente do seu dispositivo Android para a sua impressora, caso ela seja compatível com o Google Cloud Print, mas há um pouco mais a ser feito para que ele funcione. Este guia explica bem suas opções se você usa o Android.
Em suma, você precisará do aplicativo Cloud Print instalado em seu telefone, caso ainda não esteja. Mais do que provável, porém, já está instalado por padrão e vem com o seu dispositivo, mas se não, basta baixá-lo na Google Play Store.
Certamente não é tão simples quanto o AirPrint no iOS, mas pelo menos você tem algumas opções diferentes para escolher se estiver no Android.
Imprimindo a maneira antiquada
Se você tiver uma impressora básica que não ofereça suporte ao AirPrint ou ao Google Cloud Print, será necessário executar algumas etapas extras.
Ainda será necessário capturar a captura de tela da conversa por mensagem de texto. Só que, desta vez, você também precisará enviar essas capturas de tela para o seu computador. Há muitas maneiras diferentes de fazer isso.
Um método que funciona tanto no iOS quanto no Android é simplesmente enviar as capturas de tela por e-mail para você mesmo. No Android, você pode fazer isso selecionando as capturas de tela no aplicativo de fotos e clicando no botão de compartilhamento. A partir daí, selecione Gmail e envie as capturas de tela para seu próprio endereço de e-mail. Você também pode salvá-los no seu Dropbox, no Google Drive ou em outro serviço na nuvem e acessá-los no seu computador.
Quando essas capturas de tela estiverem no seu computador, você poderá imprimi-las como faria com qualquer outro documento. Pessoalmente, gosto de abrir fotos no Photoshop ou outro software de edição e ajustar as configurações de impressão para as imagens, mas se você não é exigente, basta simplesmente enviar as fotos para imprimir sem qualquer preparação e devem imprimir muito bem.